1. ÚVOD

Tunel Mrázovka, který je spojnicí mezi Strahovským tunelem a Barrandovským mostem, je považován za jednu z nejvýznamnějších dopravních staveb v Praze na přelomu tisíciletí [1]. Jde o rozsáhlý komplex podzemních staveb, jejichž návrh byl na kritických místech podložen sérií matematických modelů [2, 3, 4, 5]. Některé výsledky z těchto modelů byly publikovány objednatelem v [6].
Řešení MKP provedené pro 24 m široký a 17 m vysoký výrub rozpletu západní tunelové trouby (ZTT) upozornilo na nebezpečí plastifikace středního pilíře při navrhovaném postupu výlomu a na příznivý stabilizační účinek zpevnění dna dílčích výrubů [4]. Model strojovny vzduchotechniky (VZT) ukázal, že při členění porubu se na postupně budované provizorní ostění předává postupně se měnící horninový tlak a u napojení dílčích ostění se vytváří plastické klouby, které ovlivňují rozdělení vnitřních sil ostění [5].
Nejdůležitějším z řešených problémů byla prognóza poklesové kotliny v kritickém řezu ZTT v km 4,850 u ul. Ostrovského. Zde dochází ke kumulaci nepříznivých faktorů, jako je hustá zástavba, nízké nadloží (15 m) a složité geologické poměry. Proto bylo navrženo komplexní numerické řešení problému ve třech krocích. Prvním krokem byla numerická analýza průzkumné štoly, která umožnila na základě výsledků měření in situ vybrat vhodný konstitutivní model (vztah mezi napětím a přetvořením) pro horninové prostředí libeňských břidlic a určit jeho parametry [2, 7, 8]. Druhým krokem bylo modelování vlivu technologických postupů výstavby na sedání nadloží v příčném směru pomocí rovinných úloh [3, 9]. Třetím krokem má být prostorové řešení metodou konečných prvků (MKP) za účelem zjištění vlivu tvaru čelby a dalších faktorů (délky záběru, vzdáleností vystrojení kaloty a uzavření spodní klenby, způsobu zajištění stability čelby a jiné) na konvergenci tunelu, stabilitu čelby a prostorový průběh poklesové kotliny nad tunelem.
Tento článek navazuje na první krok a obsahuje analýzu dvou konstitutivních modelů odvozených z výsledků měření pomocí sbližovacích výpočtů, které při stejném poklesu terénu dávaly rozdílnou konvergenci a odlišné parametry horninového masivu. Rozbor má význam pro další postup matematického modelování tunelu Mrázovka.
Jak již bylo zmíněno, předmětem sbližovacích výpočtů byla průzkumná štola, kde kromě výsledků kontrolního sledování (konvergence štoly, přetvoření nadloží měřené extenzometry, přesná nivelace poklesu povrchu) byly k dispozici i výsledky polních zkoušek vlastností hornin. Ražba a vystrojování štoly bylo modelováno pomocí MKP a byla ověřena funkce ideálně pružnoplastického modelu s parametry závislými na hloubce a dráhově závislého pružnoplastického konstitutivního modelu. Pro každý z těchto modelů byla řešena parametrická studie, jejímž cílem bylo stanovení parametrů horninového masivu, které zabezpečí nejlepší přiblížení k naměřeným hodnotám sedání nadloží a konvergence štoly. Pro prognózu poklesové kotliny nad tunelem byly vybrány ty konstitutivní modely, které poskytly vyhovující shodu s výsledky měření při minimální změně parametrů horninového masivu stanovených průzkumem. Ukázalo se, že tomuto kritériu vyhovuje dráhově závislý pružnoplastický model, zatímco ideálně pružnoplastický model nikoliv. Tento model totiž nerespektuje vliv redistribuce napětí na deformační odezvu horninového prostředí a tím zkresluje velikost a rozdělení pohybů masivu vyvolaných ražbou. Takový model nemůže poskytnout spolehlivé podklady pro využití observační metody při výstavbě tunelu.

2. GEOLOGICKÉ A GEOTECHNICKÉ POMĚRY, VÝSLEDKY KONTROLNÍHO SLEDOVÁNÍ PRŮZKUMNÉ ŠTOLY

Geologické poměry podél trasy tříproudového dopravního tunelu (šířka 15,6 m, výšky 12,4 m) byly zjišťovány vrtným průzkumem a průzkumnou štolou (šířka 3,50 m, výška 2,15 m) u vrcholu tunelu (obr. 1). Podrobný popis díla je v článcích [1, 6], souhrn geologických a geotechnických poměrů v elaborátu [10].
Předmětný kritický úsek s minimálním nadložím (15 m) se vyznačuje sledem těchto vrstev: zdravá prachovitojílovitá břidlice libeňského souvrství s velkou hustotou diskontinuit a s navětralým horizontem asi 1,0 m nad kalotou tunelu, navětralá břidlice s velmi velkou a zvětralá břidlice s extrémně velkou hustotou diskontinuit. Dále rozložená břidlice, diluviální sedimenty a navážka (obr. 1).

Obr. 1 Tunel Mrázovka, kritický příčný řez s minimálním nadložím v km 0.485 západní tunelové trouby (podle podkladů Satra s.r.o.)

Geotechnické charakteristiky byly zjišťovány pomocí presiometrických a jiných polních zkoušek a místní normové charakteristiky (objemová hmotnost Gama, modul přetvárnosti E_p, modul pružnosti E, Poissonův součinitel ni_p, soudržnost c´, úhel vnitřního tření fi´) jsou prezentovány jako parametry plynule se měnící s hloubkou h. Pro vrstvy významné pro sbližovací výpočty, tj. zdravé, navětralé a zvětralé břidlice byly doporučeny tyto hodnoty: [10]

• maximální pokles terénu na posuzovaném místě 1,2 cm (bez vlivu poklesu hladiny podzemní vody)
• podíl poklesů před průchodem čelby štoly asi 50 % celkových poklesů
• maximální příčný sklon poklesové zóny 1/900
• největší konvergence štoly 1,7 cm ve svislém a 3,4 cm ve vodorovném směru.

Rovinný model štoly se schematizovanými geologickými poměry je na obr. 2.

Obr. 2 Síť konečných prvků a rozdělení materiálů pro sbližovací výpočty k výsledkům měření průzkumné štoly.

Součinitel bočního tlaku v klidu Ko pro původní geostatickou napjatost byl uvažován hodnotou 0,5 pro navětralou a zdravou břidlici a hodnotou 0,6 pro sedimenty a navážky. Výlom a vystrojování štoly bylo provedeno ve čtyřech etapách: původní napjatost (1), výlom kaloty a vystrojení klenby ,,nezralým" stříkaným betonem o mocnosti 0,15 m (2), výlom spodní části štoly a vystrojení dna ,,nezralým" stříkaným betonem, dále vystrojení klenby zralým betonem (3) a vystrojení dna zralým stříkaným betonem (4).
,,Nezralý" stříkaný beton modeluje poměry u čelby, kde hornina není ještě vystrojena, ale uplatňuje se prostorový efekt tvaru výrubu. Sbližovací výpočty vedly na přetvárný modul nezralého betonu 250 MPa, který je jen o málo vyšší než minimální přetvárný modul zdravé břidlice 200 MPa. To znamená, že vystrojení štoly nemělo na deformaci horninového masivu žádný omezující vliv. Výběr konstitutivních modelů pro popis mechanického chování horninového masivu byl přizpůsoben možnostem použitého programového systému CRISPATH, kde je implementován vysoce efektivní řešič rovnic pro výstižné modelování rozsáhlých nelineárních prostorových úloh mechaniky kontinua [11].
Zpětnou analýzou MKP byla ověřena vhodnost těchto konstitutivních modelů:

• varianta ideálně pružnoplastického, tzv. Mohr-Coulombova modelu, kde modul pružnosti a soudržnosti látek rostou sice s hloubkou, ale v dané hloubce jsou konstantní a nezávislé na změně napjatosti až do okamžiku porušení (model č. 1),
• dráhově závislý pružnoplastický model (model č. 2), kde jsou přetvárné parametry před porušením závislé nejen na dosažené úrovni napětí (zpevnění vlivem růstu normálových napětí a změkčení vlivem smyku), ale také na změně směru dráhy napětí (přitížení nebo odlehčení normálovým napětím nebo smykem) podle obr. 7 a [12].

Dráhově závislý model (model č. 2) dal na první pokus vyhovující výsledky, které jsou prezentovány na obr. 3 a 4.

Obr. 3 Srovnání poklesu terénu podle výsledků měření a zpětné analýzy MKP při použití různých konstitutivních modelů horninového masivu.

	Obr. 4 Srovnání sedání nadloží a přetvárných a pevnostních parametrů masivu podle měření a podle zpětné analýzy MKP Ideálně pružnoplastický konstitutivní model s deformačním modulem E a soudržností c rostoucí s hloubkou (model č. 1) LEGENDA: Parametry podle průzkumu (1) Parametry podle zpětné analýzy (2)
	Dráhově závislý pružnoplastický konstitutivní model (model č. 2)

Poklesy stropu štoly a terénu činí 3,6 cm/1,34 cm při sklonu poklesové kotliny 1/764, což je velmi blízko k výsledkům měření. Základní vstupní data v tabulce č. 3 jsou přitom charakteristiky hornin podle průzkumu, které jsou výstižné pro primární, výrubem nenarušený stav napjatosti masivu. Vliv změny napjatosti masivu v okolí štoly z primárního stavu na stav sekundární zohledňuje konstitutivní model, což v předchozím případě (model č. 1) není zabezpečeno.

Výsledky zpětné analýzy realizované pomocí sbližovacích výpočtů jsou znázorněny na obr. 3, 4 a 6. Na obr. 3 jsou poklesy terénu vypočtené za použití modelu č. 1 a č. 2 porovnány s výsledky měření. Lze konstatovat vyhovující shodu pro oba modely. To ukazuje, že naměřené sedání nadloží lze vypočíst libovolným konstitutivním modelem, jsou-li parametry modelu přizpůsobeny právě těmto výsledkům měření. To však ještě není důkazem prognózovací schopnosti modelu pro dané horninové prostředí.
Více informací dává obr. 4, kde je porovnán nejen průběh vypočtených svislých posunů s výsledky měření, ale také průběh přetvárného modulu a parametrů smykové pevnosti podle průzkumu a podle zpětné analýzy. Tento obrázek odhaluje hlavní rozdíly mezi testovanými konstitutivními modely. Modelem č. 1 se lze přiblížit k naměřenému sedání jen za cenu tří až pětinásobného snížení přetvárného modulu, což znamená u zdravé břidlice pokles z 200 MPa až na 40 MPa. Tyto parametry nekorespondují s výsledky průzkumu a nejsou charakteristikami horninového masivu. Platí jen pro konkrétní případ štoly a nelze je použít pro prognózu chování tunelu.

U modelu č. 2 jsou parametry podle zpětné analýzy totožné s parametry podle průzkumu (a to na první pokus, bez sbližování), což lze považovat za důkaz prognózovací schopnosti tohoto modelu.
Dalším důležitým momentem je rozdělení svislých posunů s hloubkou, tj. spolehlivost výpočtu konvergence výrubu a jejího přenosu na povrch. Zde opět dává model č. 2 vyhovující výsledky, zatímco konvergence vypočtená modelem č. 1 je podstatně větší než hodnota podle měření. Jelikož při použití observační metody je naměřená konvergence ukazatelem stability výrubu a signálem pro zesílení primárního ostění, nejsou výsledky podle modelu č. 1 na bezpečné straně. To platí i pro korelaci poklesu vrcholu štoly a poklesu terénu.
Rozdílnou funkci modelů lze názorně vysvětlit analýzou drah napětí, která je publikována v článku [8]. Dráhy napětí popisují časový sled stavů napjatosti v jednotlivých bodech horninového masivu, což ovlivňuje deformační odezvu (přetvárné parametry) masivu při ražbě tunelu. Pro ilustraci uvádíme původní geostatickou napjatost horninového prostředí (primární napjatost, obr. 5a) v okolí průzkumné štoly a stav napjatosti po výlomu a vystrojení kaloty průzkumné štoly (sekundární napjatost, obr. 5b).

Obr. 5 Hlavní napětí pro primární a sekundární stav napjatosti horninového masivu v okolí průzkumné štoly

Jak je patrno, při přechodu od primární k sekundární napjatosti dochází k redistribuci napětí a mění se velikost, poměr a směr hlavních napětí. Protažení elips znamená odlehčení ve smyku, tj. zpevnění struktury. Výrazné zmenšení a zkulacení elips je příznakem celkového odlehčení jak ve smyku, tak normálovým napětím. Následkem je změna tuhosti, tj. deformační odezvy látky v dotčených zónách.
Uvedené ovšem platí pro případ, kdy zatížení vyvolá strukturní změny materiálu. Je-li úroveň napětí tak nízká, že jsou pracovní diagramy při přitížení a odlehčení totožné, pak ke strukturním změnám nedochází a platí Hookův zákon s konstantním modulem pružnosti. Místní normové charakteristiky libeňských břidlic zjištěné průzkumem (tabulka č. 1) dobře korespondují s primárním stavem napjatosti, kde se tvar elips nemění, ale jejich velikost roste úměrně s hloubkou.
Ideálně pružnoplastický, tzv. Mohr-Coulombův model (model č. 1) idealizuje látku tak, že ke strukturním změnám nedochází až do okamžiku porušení, kdy podle teorie plastického potenciálu nastane plastické tečení (růst přetvoření beze změny napětí). Model dobře simuluje chování pevných látek při nízké úrovni napětí, kdy rozdíl mezi primární a sekundární napjatostí neovlivní deformační odezvu masivu. To však není případ kritického úseku tunelu Mrázovka v km 4,85, kde jsou libeňské břidlice postiženy velkou hustotou diskontinuit a ražba průzkumné štoly vyvolala varující sedání nadloží. Pro tyto podmínky model č. 1 neplatí a nereálný model vede k nereálným parametrům (nízké přetvářné moduly pro model č. 1 na obr. 4 a 6).
Dráhově závislý pružnoplastický model idealizuje látku tak, že ke strukturním změnám a tím ke změnám tečnových přetvárných parametrů dochází již před dosažením pevnosti látky v závislosti na úrovni napětí a změnách směru drah napětí v průběhu přitěžování (obr. 7).

Obr. 7 Základní vztahy závislého pružnoplastického konstitutivního modelu materiálů

Vliv drah je závislý na růstu nebo poklesu středního napětí a mobilizace smykové pevnosti. Při dosažení pevnosti látky nastane plastické tečení při použití tzv. nesdruženého zákona tečení, kdy se plastické přetvoření určuje podle jiné plochy (plochy plastického potenciálu), než je plocha plasticity, která je v daném případě totožná s plochou pevnosti. Je to nejjednodušší model, kterým lze za jistých předpokladů aproximovat funkci dokonalejších konstitutivních modelů teorie plastického potenciálu s dvojitým zpevněním, a to je příčinou lepších výsledků modelu č. 2 při zpětné analýze průzkumné štoly.
Tento model zohledňuje přechod od primární k sekundární napjatosti příslušnou změnou přetvárných parametrů. Porovnáním přetvárných modulů na obr. 6 lze zjistit, že zpětná analýza při použití modelu č. 1 produkuje nejnižší hodnoty, které podle modelu č. 2 platí jen pro zóny s vyšší mobilizací smykové pevnosti. Nad výrubem a pod výrubem, kde dochází k odlehčení, platí vyšší hodnoty modulů, které zabezpečí reálný výpočet konvergence výrubu a rozdělení posunů ve svislém směru. Tyto souvislosti jsou obzvlášť důležité při aplikaci observační metody, kdy nasazení jednotlivých technologických a sanačních opatření je závislé na naměřených deformacích a jejich interpretaci.

1. Na rozdíl od zpětné analýzy, kde cílem bývá určení průměrných charakteristik masivu pro daný konstitutivní model, předmětem této studie byl výběr vhodného konstitutivního modelu horninového masivu včetně jeho parametrů. Výběr byl proveden na základě sbližovacích výpočtů k výsledkům měření a tímto způsobem byl testován ideálně pružnoplastický model s parametry závislými na hloubce (varianta tzv. Mohr-Coulombova modelu) a dráhově závislý pružnoplastický model.
2. Studie ukázala, že naměřené sedání nadloží lze vypočíst libovolným konstitutivním modelem při adekvátní úpravě parametrů. Rozdílné jsou však vypočtené konvergence výrubu a hlavně zjištěné parametry. Pro ideálně pružnoplastický model produkují sbližovací výpočty jen výpočtové parametry, které nekorespondují s naměřenými charakteristikami horninového masivu. To je závažné zjištění a zároveň kritérium pro výběr modelů. Modely s nereálnými parametry platí jen pro konkrétní případ štoly a nelze je použít pro spolehlivou prognózu konvergence výrubu a poklesové kotliny vyvolané ražbou tunelu.
3. Studie dále ukázala, že ačkoliv je výlom štoly odlehčovací proces, je sedání nadloží závislé na modulu přitížení, který se navíc snižuje mobilizací smykové pevnosti. Konvergence výrubu je naopak ovlivněna modulem odlehčení, a proto nelze oba tyto jevy výstižně modelovat tzv. Mohr-Coulombovým modelem, kde pod plochou pevnosti platí jeden přetvárný modul.
4. Dráhově závislý pružnoplastický model dal vyhovující výsledky jak pro pokles terénu, tak pro konvergenci výrubu při parametrech, které jsou charakteristikami masivu podle průzkumu. Model zohledňuje vliv redistribuce napětí na změnu přetvárných parametrů, což je minimální požadavek na konstitutivní model, má-li být aplikován při matematickém modelování tak složitých interakčních problémů, jakým je prognóza vlivu ražby na nadzemní zástavbu na kritickém úseku tunelu Mrázovka.
5. Nároky na vhodnou volbu konstitutivního modelu masivu a jeho parametrů jsou obzvlášť vysoké, je-li matematický model používán v interakci s observační metodou, kdy srovnání výsledků výpočtů a měření a jejich interpretace může být pokladem pro závažná rozhodnutí při výstavbě tunelu.